設A為n（n＞2）階方陣,證明A可逆的充分必要條件是A*可逆

數(shù)學人氣：918 ℃時間：2020-06-21 05:11:42

優(yōu)質(zhì)解答

AA* = |A|·E.
若A可逆,有|A| ≠ 0,A* = |A|·A^(-1)也是可逆的.
若A不可逆,有|A| = 0,故AA* = 0.
r(A)+r(A*)-n ≤ r(AA*) = 0,即r(A*) ≤ n-r(A).
當A ≠ 0,r(A) > 0,得r(A*) < n,A*不可逆.
而當A = 0,由伴隨矩陣的構(gòu)造易得A* = 0,A*同樣不可逆.
實際上可以證明:對n > 1,
r(A) = n時,r(A*) = n.
r(A) = n-1時,r(A*) = 1.
r(A) < n-1時,r(A*) = 0.證明已經(jīng)包含充分和必要性了, 只是充分性用得是逆否命題.必要性是: 若A可逆則A*可逆.充分性是: 若A*可逆則A可逆.其逆否命題就是若A不可逆則A*不可逆, 也可理解為反證法.不用謝.