假設(shè)該雙曲線是x^2-y^2=a^2,則可知雙曲線的離心率e=√2.便于研究,我們可以設(shè)一點P(x0,y0)在雙曲線的右支,且在第一象限.雙曲線的對稱中心就是O點嘛,雙曲線左、右焦點分別為F1(-c,0)、F2(c,0),則向量PF1=(-c-x0,-y0),向量PF2=(c-x0,-y0),則向量PF1*向量PF2=x0^2+y0^2-c^2,由雙曲線方程可得x0^2+y0^2-c^2=2x0^2-3a^2.焦半徑PF1=ex0+a,焦半徑PF2=ex0-a,點F1、O、F2三點共線,且O是線段F1F2的中點,于是就有向量PO=1/2*(向量PF1+向量PF2),做好這些準(zhǔn)備工作后就可以開始解題了.
(線段PO)^2=(向量PO)^2=1/4*(向量PF1+向量PF2)^2=1/4[(向量PF1)^2+(向量PF2)^2+2(向量PF1)*(向量PF2)]=1/4[(ex0+a)^2+(ex0-a)^2+2x0^2-3a^2]=1/4(8x0^2-4a^2)=2x0^2-a^2=(√2x0+a)(√2x0-a)=(ex0+a)(ex0-a)=焦半徑PF1*焦半徑PF2,即得證.
此法屬向量法,過程其實不難,主要用到向量的一個結(jié)論和雙曲線的焦半徑,以及和等軸雙曲線的離心率是√2來解題,可能有些復(fù)雜,但思路十分清晰,應(yīng)該能看得懂吧.