我們令所有可逆n*n矩陣組成的集合為M,我們知道,M是非空的且矩陣乘法是一個二元運算.若M在矩陣乘法下成一個群,則因滿足群的四個性質(zhì),現(xiàn)一一證明.
（1）單位矩陣I是可逆的,是M中元素,且對于任意矩陣A∈M,有IA=AI=A,即單位元素存在.
（2）對于任意一個矩陣A∈M,存在逆矩陣A^(-1),使得A*A^(-1)=I,即逆元素存在.
（3）矩陣乘法滿足結(jié)合律,即對任意的矩陣A,B,C∈M,滿足（A*B）*C=A*(B*C)
（4）對于任意的矩陣A,B∈M,有(A*B)*（B^(-1)*A^(-1)）=A*(B*B^(-1))*A^(-1)=A*I*A^(-1)=I,即A*B是可逆的,所以有A*B∈M,即矩陣乘法元算是乘法封閉的.
總上,M在矩陣乘法下是一個群.