由絕對值不等式得:
|a+b-2c| ≤ |a-c|+|b-c|,|b+c-2a| ≤ |b-a|+|c-a|,|c+a-2b| ≤ |c-b|+|a-b|.
由a-b,b-c,c-a都不為0,其中至少有兩個符號相同.
不妨設(shè)a-b與b-c同號,則a-b與c-b反號,|c+a-2b| < |c-b|+|a-b|.
因此三個不等號至少有1個是嚴(yán)格的.
相加得|a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b| < 2(|a-b|+|b-c|+|c-a|).
由|a-b|+|b-c|+|c-a| > 0,得(|a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b|)/(|a-b|+|b-c|+|c-a|) < 2.
仍由絕對值不等式得:
|a+b-2c|+|b+c-2a| ≥ |3a-3c| = 3|c-a|,|b+c-2a|+|c+a-2b| ≥ 3|a-b|,|c+a-2b|+|a+b-2c| ≥ 3|b-c|.
相加即得2(|a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b|) ≥ 3(|a-b|+|b-c|+|c-a|).
由|a-b|+|b-c|+|c-a| > 0,得(|a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b|)/(|a-b|+|b-c|+|c-a|) ≥ 3/2.