（Ⅰ）由題意：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f′(x)＝

1

x

+

a

x2

＝

x+a

x2

．
∵a＞0，∴f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．（4分）
（Ⅱ）由（1）可知：f′(x)＝

x+a

x2

①若a≥-1，則x+a≥0，即f'（x）≥0在[1，e]上恒成立，此時(shí)f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，f（x）_min=f（1）=-a（6分）
②若a≤-e，則x+a≤0，即f'（x）≤0在[1，e]上恒成立，此時(shí)f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，f(x)min＝f(e)＝1?

a

e

（8分）
③若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，
當(dāng)1＜x＜-a時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上為減函數(shù)，
當(dāng)-a＜x＜e時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上為增函數(shù)，
f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1（11分）
綜上可知：當(dāng)a≥-1時(shí)，f（x）_min=-a；
當(dāng)a≤-e時(shí)，f(x)min＝1?

a

e

；
當(dāng)-e＜a＜-1時(shí)，f（x）_min=ln（-a）+1（12分）