解答:這是一道比較費腦筋的題目.花了我半個小時才理出了個頭緒.要利用90個埃及分?jǐn)?shù)：1／2,1／3,1／4,…,1／90,1／91,從中挑出10個,加上正負(fù)號,使他們的和等于－1.(即每個分?jǐn)?shù)的分子都是1, 而每個分?jǐn)?shù)的分母都不同.)所以我猜想如果可以找一個數(shù)字,讓它做分母,同時把這個數(shù)字可以用它的不同因數(shù)(最少10個)拆開, 且不同因數(shù)的和正好等于這個分母的相反數(shù),問題就解決了.所以我想構(gòu)造一個2,3,4,5,6,7,8,9的最的公倍數(shù)是 (2^3)*(3^2)*5*7=8*9*5*7這個數(shù)字太大,不可能用它來做分母.經(jīng)過觀察得到(2^3)*(3^2)=8*9=72,它可以作為未來十個分?jǐn)?shù)的公分母.再仔細(xì)觀察(2^3)*(3^2)的因數(shù)有3+2+3*2+1=12, 即:(2,4,8) (3, 9) (6,18,12,36,24,36,72)(1). (考慮到未來注釋:[第一個括號內(nèi)的72的因數(shù)由單一因數(shù)2形成,分別是2^1,2^2和2^3[第二個括號內(nèi)的72的因數(shù)由單一因數(shù)3形成,分別是3^1 和3^2[第三個括號內(nèi)的72的因數(shù)由因數(shù)2和3形成,分別是2,4,8與3,9的兩兩成積.[第四個括號內(nèi)是任何數(shù)的因數(shù)=1將上述的因數(shù)按由小到大排列即: 1,2,3,4,6,8,9,12,18.24,36,72.因為72/72=1,實際上已經(jīng)不是分?jǐn)?shù),所以拿掉這個因數(shù),剩11個因數(shù).剩下的問題就是如何在1,2,3,4,6,8,9,12,18.24,36共11個數(shù)字中,選擇10個通過添加正負(fù)號使得它的結(jié)果等于72了. (因為加和的結(jié)果是不是-72,所以奇因數(shù)應(yīng)該成對出現(xiàn))在EXCEL中將上述的因數(shù)選擇10個一一鍵入,排成一列,求和.然后通過”只調(diào)整正負(fù)號”,使得結(jié)果等于72就成了.我至少得到以下三組結(jié)果.A: (-2,3,4,-6,-8,-9,-12,18,-24,-36)B: (2, 3,-4,-6,8,-9,12,-18,-24,-36)C: (-1, -2, 3, -4, -6, -8, -12, 18, -24, -36)所以我們可以分別得到A: (-2 + 3 + 4 – 6 – 8 – 9 –12 + 18 – 24 - 36)/72= -72/72= -1B: (2 + 3 – 4 –6 + 8 – 9 +12 –18 – 24 -36)/72= -72/72 = -1C: (-1, -2, 3, -4, -6, -8, -12, 18, -24, -36)/72= -72/72 = -1左邊化簡得到:A: (-2 + 3 + 4 – 6 – 8 – 9 –12 + 18 – 24 - 36)/72= -2/72 + 3/72 + 4/72 – 6/72 – 8/72 – 9/72 –12/72 + 18/72 – 24/72 – 36/72= -1/36 + 1/24 + 1/18 – 1/12 – 1/9 – 1/8 –1/6 + 1/4 – 1/3 – 1/2B: (2 + 3 – 4 –6 + 8 – 9 +12 –18 – 24 -36)/72=2/72 + 3/72 – 4/72 –6/72 + 8/72 – 9/72 +12/72 –18/72 – 24/72 –36/72=1/36 + 1/24 – 1/18 –1/12 + 1/9 – 1/8 +1/6 –1/4 – 1/3 –1/2C: (-1 – 2 + 3 - 4 - 6 - 8 –12 + 18 - 24 -36)/72= -1/72 – 2/72 + 3/72 – 4/72 – 6/72 – 8/72 –12/72 + 18/72 – 24/72 –36/72= -1/72 – 1/36 + 1/24 – 1/18 – 1/12 – 1/9 –1/6 + 1/4 – 1/3 –1/2題外話:我后邊又再想了,我找到的幾個數(shù)字都是以72為公分母,有沒有其他的合乎條件的不是72的數(shù)字呢? 經(jīng)過我的證明和列舉,說明再沒有合乎條件的公分母了.下面給出我的過程,希望指正.假定我們采用的每一個因數(shù)都不浪費,(這要求不同因數(shù)之間互質(zhì),即兩兩沒有公約數(shù),1除外). 取出的n個數(shù)字每一個都不同,而且假定n個數(shù)字的任意兩個,三個,知道n個的乘積都不大于91,那么所有因數(shù)的個數(shù)是1+n+combin(n,2)+combin(n,3)+…+combin(n,n-1)= combin(n,0)+ combin(n,1)+combin(n,2)+combin(n,3)+…+combin(n,n-1)=2^n-combin(n,n)=2^n-1[其中combin(n,m)是組合的表達(dá)式(0=4,而實際上取出的n個數(shù)字中并不是每一個都不同(在例子中2被取了三次,實際上只能計做1個因數(shù),而不是3個因數(shù)),而且假定n個數(shù)字的任意兩個,三個,知道n個的乘積并不是總都不大于91,所以實際的因數(shù)數(shù)量會比2^n-1要少.n的最小值是4,即最少要選擇4個數(shù),否則不會有10個不同的(不含1和最大)的因數(shù).下面列表給出了所有可以分解成4個或者4個以上因數(shù)乘積((即n>=4)的, 小于等于91的, 可能作為最終公分母的數(shù)字,的因數(shù)表和因數(shù)個數(shù)表.從中可以看出,只有公分母72符合條件.有至少10個不同因數(shù).(不含本身).[分母][因數(shù)積][因數(shù)][合條件個數(shù)][64] [2*2*2*2*2*2] [1,2,4,8,16,32,64] [6][32] [2*2*2*2*2] [1,2,4,8,16,32] [5][16] [2*2*2*2] [1,2,4,8,16] [4][48] [2*2*2*2*3] [1,2,4,8,16,3,6,12,24] [9][80] [2*2*2*2*5] [ 1,2,4,8,16,5,10,20,40] [9][24] [2*2*2*3] [1,2,4,8,3,6,12] [7][72] [2*2*2*3*3] [1,2,4,8,3,9,6,18,12,36,24] [11][40] [2*2*2*5] [1,2,4,8,5,10,20] [7][56] [2*2*2*7] [1,2,4,8,7,14,28] [7][88] [2*2*2*11] [1,2,4,8,11,22,44] [7][81] [3*3*3*3] [1,3,9,27] [4][54] [3*3*3*2] [1,3,9,27,2,6,18] [7]