凸n邊形的內(nèi)部被劃分為區(qū)域數(shù)最多是：
(1)n^2(n-3)^2/8+n(n-3)(9-2n)/4+1 (3=6)
整個平面則是上述答案分別+1即可!
詳細推導過程請參閱我的文庫“討論直線劃分平面的問題與凸多邊形的邊線及其對角線劃分平面問題”以下摘錄部分關(guān)鍵步驟如下：
一個更簡單的方法是這樣的.假設我們把凸多邊形無限放大（想象要多大有多大）,則問題就變成了直線劃分平面的問題了,只是這些直線（多邊形的對角線）并非全部兩兩都相交和存在多（>=2）條直線交于同一個頂點而已.那么怎樣才能使劃分出的區(qū)域最多呢?就是在凸多邊形的內(nèi)部,不存在>=3條的對角線交于同一點的時候則劃分出的內(nèi)部區(qū)域數(shù)最多!此時,所劃分出的區(qū)域數(shù)就相當于直線劃分平面區(qū)域的最多數(shù)排除掉因了多條對角線交于同一個頂點而使劃分出的區(qū)域減少的個數(shù)和因了存在對角線對在凸多邊形的內(nèi)部不相交而使得劃分的區(qū)域減少的個數(shù),即：
劃分凸多邊形內(nèi)部區(qū)域最多數(shù)=直線（對角線）劃分平面最多數(shù)-因了多條對角線交于同一個頂點而使劃分出的區(qū)域減少的個數(shù)-因了存在對角線對在凸多邊形的內(nèi)部不相交而使得劃分的區(qū)域減少的個數(shù).記上式為max=max1-s1-s2
所以,我們首先必須明白的幾個問題是：
（1）凸n邊形的對角線的條數(shù)k=n(n-3)/2;(可用兩種方法證明,其中一種增邊構(gòu)造法)
（2）直線（對角線）劃分平面最多數(shù)即為上述第一個問題,結(jié)果由直線的條數(shù)（對角線的條數(shù)k）確定max1=(k^2+k+2)/2;
（3）因了多條對角線交于同一個頂點而使劃分出的區(qū)域減少的個數(shù)(n>=3)
在凸多邊形的內(nèi)部（是一個非歐幾何空間）,由于（>=2）多條直線（對角線）交于同一個頂點劃分出的區(qū)域個數(shù)比由直線兩兩相交而沒有任何大于等于3條的直線交于同一點所劃分出的區(qū)域個數(shù)減少的個數(shù)為：
s1={[（n-3）^2+(n-3)+2]/2-(n-3+1)}•n(此n表示頂點個數(shù))
例如：n=4,5時,對角線交于頂點處劃分凸多邊形內(nèi)部區(qū)域比直線劃分平面區(qū)域數(shù)減少的個數(shù)情況如下圖：（其中n表示多邊形邊數(shù),k為 凸n邊形對應的對角線條數(shù)）

（4）因了存在對角線對在凸多邊形的內(nèi)部不相交而使得劃分的區(qū)域減少的個數(shù)
首先我們知道一組平行（永不相交）的直線劃分平面區(qū)域是3個比一組相交直線劃分平面的區(qū)域數(shù)4少1,結(jié)論用到凸多邊形的內(nèi)部（非歐空間）同樣適用,只是這里的“平行”是非歐幾何意義下的平行而已.于是問題的關(guān)鍵就在于求在凸多邊形內(nèi)部中“平行”（不相交）的對角線對的個數(shù)了.

結(jié)論：當n>=6時,在凸多邊形內(nèi)部中“平行”（不相交）的對角線對的個數(shù)為：
s2=n/2•∑（6->n）[1+(i-3)(i-6)/2]
參考鏈接需要的話另附!答案是分成3×Cn4+1/2(3n^2+5n+2)，內(nèi)部是Cn4+C(n-1)2個，Cnx表示組合數(shù) 沒有過程