如圖，B為線段AD上一點，△ABC和△BDE都是等邊三角形，連接CE并延長交AD的延長線于點F，△ABC的外接圓⊙O交CF于點M．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）求證：AC2=CM?CF；（3）若CM=277，MF=1277

如圖，B為線段AD上一點，△ABC和△BDE都是等邊三角形，連接CE并延長交AD的延長線于點F，△ABC的外接圓⊙O交CF于點M．

（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）求證：AC²=CM?CF；
（3）若CM=

，MF=

，求BD；
（4）若過點D作DG∥BE交EF于點G，過G作GH∥DE交DF于點H，則易知△DGH是等邊三角形．設(shè)等邊△ABC、△BDE、△DGH的面積分別為S₁、S₂、S₃，試探究S₁、S₂、S₃之間的等量關(guān)系，請直接寫出其結(jié)論．

數(shù)學(xué)人氣：351 ℃時間：2019-08-21 01:50:28

優(yōu)質(zhì)解答

（1）證明：連接OB
∵△ABC和△BDE都是等邊三角形
∴AB=BC=AC，∠CAB=∠ABC=∠EBD=60°
∴∠OBC=30°（1分）
∵∠CBE=180°-60°-60°=60°
∴∠OBE=30°+60°=90°即OB⊥BE（2分）
∴BE是⊙O的切線；（3分）
（2）證明：連接AM，則∠AMC=∠ABC=∠CAF=60°（4分）
∵∠ACM=∠FCA
∴△ACM∽△FCA（5分）
∴

∴AC²=CM?CF；（6分）
（3） ∵AC²=CM?CF
∴AC=2（7分）
設(shè)FB=x
∵FB?FA=FM?FC
∴x(x+2)=

∴x=4，x=-6（舍去）
∴FB=4（8分）
∵EB∥AC
∴

∴

（9分）
∴BE=

∴BD=

；（10分）
（4） S₂²=S₁?S₃或

（12分）．

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如圖，B為線段AD上一點，△ABC和△BDE都是等邊三角形，連接CE并延長交AD的延長線于點F，△ABC的外接圓⊙O交CF于點M． （1）求證：BE是⊙O的切線； （2）求證：AC2=CM?CF； （3）若CM=277，MF=1277

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如圖，B為線段AD上一點，△ABC和△BDE都是等邊三角形，連接CE并延長交AD的延長線于點F，△ABC的外接圓⊙O交CF于點M．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）求證：AC2=CM?CF；（3）若CM=277，MF=1277