設(shè)公切線為 y = kx + b
與 C1 C2 切點(diǎn) 分別為 (x1, kx1+b), (x2, kx2 +b)
則切點(diǎn)滿足各自的拋物線方程
kx1 + b = x1² +2 x1
kx2 + b = -x2² + a
對C1 C2 方程求導(dǎo)
y1' = 2x + 2
y2' = -2x
切線的斜率為切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù), 所以
k = 2x1 + 2 = -2 x2
一共有
kx1 + b = x1² +2 x1
kx2 + b = -x2² + a
k = 2x1 + 2
k = -2 x2
四個(gè)方程, k, x1, x2, b, a 五個(gè)未知數(shù)
先消去 b
k(x1 - x2) = x1² + x2² + 2x1 -a
再消去x1, x2
k(k-1) = (k/2 -1)² + (k/2)² + k -2 - a
k² - k = k²/2 -1 - a
k²/2 - k + 1 + a = 0
判別式
△ = b² - 4ac = 1 - 4*(1/2)*(1+a)
為使 有且僅有一條公切線 則
1 - 2(1+a) = 0
a = -1/2
k²/2 - k + 1/2 = 0
(k-1)² = 0
k = 1
x1 = (k-2)/2 = -1/2
y1 = x1² + 2 x1 = 1/4 - 1 = -3/4
x2 = -k/2 = -1/2
y2 = -x2² - 1/2 = -1/4 - 1/2 = -3/4
y1 = k*x1 + b
-3/4 = -1/2 + b
b = -1/4
公切線方程: y = x - 1/4
----------------------
檢驗(yàn):
對于 C1: y = x² + 2x
(-1/2, -3/4) 在曲線上
在該點(diǎn)處 切線斜率為 k = 2x1 + 2 = 1
(-1/2, -3/4) 在 y = x - 1/4 上
對于 C1: y = -x² -1/2
(-1/2, -3/4) 在曲線上
在該點(diǎn)處 切線斜率為 k = -2 x2 = 1
(-1/2, -3/4) 在 y = x - 1/4 上
畫圖表明: 在題目要求的條件下, C1 C2 也恰好相切在 (-1/2, -3/4)
所以 可直接聯(lián)立 C1 C2 方程
y =x² +2x
y = -x² +a
求在二者有且只有一個(gè)交點(diǎn)情況下的a值
x² +2x = -x² +a
2x² +2x - a = 0
利用判別式則
a = -1/2
但這個(gè)思路不嚴(yán)密, 因?yàn)?C1 C2 即使無交點(diǎn), 也可能存在 唯一的公切線 的情況. 所以 我覺得 嚴(yán)密來講, 還是要想上面那樣 麻煩著 做