舉單調(diào)升的列子,設{An}為單調(diào)升有界數(shù)列,則這個數(shù)列一定有極限.
　　證明,首先An是有界數(shù)列,它一定有上確界A,AnB+Alfa,對所有nk>n成立,其中Alfa=(A-B)/2,這與B是Ank的極限矛盾.
　　現(xiàn)在,任給E>0,必有k使得 A-Anknk,A-An為什么Ank＜=B成立？根據(jù)收斂的定義它在B的一個小臨域內(nèi)不就行嗎，可能是右邊嗎？Ank單調(diào)升,如果有一個s屬于{nk},使得As>B那么nk>s時Ank>B+E, 其中E=(As-B)/2。這樣B就不能是Ank的極限了因為｛Ank｝以B為極限，所以若As＞B則對于任意的E＞0，有As-B＜E.就算Ank＞As，因為它也屬于此數(shù)列，怎么能說明Ank-B大于E呢？是存在(As-B)/2作為間隔隔開了絕大多數(shù)Ank和B。這是直觀的說法。 再補充一下，As-B是常數(shù)，讓E>As-B>0，E怎么任意??？有道理，那這么說是不是可以認為單調(diào)遞增的收斂數(shù)列每一項都小于它的極限呢？全部小，極限是上確界