調(diào)和數(shù)列自然數(shù)的倒數(shù)組成的數(shù)列,稱為調(diào)和數(shù)列.
人們已經(jīng)研究它幾百年了.但是迄今為止沒有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(當(dāng)n很大時):
1+1/2+1/3+.+1/n≈lnn+C(C=0.57722.稱作歐拉初始,專為調(diào)和級數(shù)所用,至今不知是有理數(shù)還是無理數(shù))
人們傾向于認(rèn)為它沒有一個簡潔的求和公式.
但是,不是因為它是發(fā)散的,才沒有求和公式.相反的,例如等差數(shù)列是發(fā)散的,公比的絕對值大于1的等比數(shù)列也是發(fā)散的,它們都有求和公式.
當(dāng)n→∞時
1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n
這個級數(shù)是發(fā)散的.簡單的說,結(jié)果為∞
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用高中知識也是可以證明的,如下：
1/2≥1/2
1/3＋1/4＞1/2
1/5＋1/6＋1/7＋1/8＞1/2
……
1/[2^(k-1)+1]＋1/[2^(k-1)+2]＋…＋1/2^k＞[2^(k-1)](1/2^k)＝1/2
對于任意一個正數(shù)a,把a(bǔ)分成有限個1/2
必然能夠找到k,使得
1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/2^k＞a
所以n→∞時,1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n→∞