題目抄錯(cuò)了吧?
如果是求(xy+2yz+2zx)/(x²+y²+z²)的最大值,則灰常簡(jiǎn)單!
解法一：
引入?yún)?shù)λ,則用基本不等式解決：
2yz＝2·λy·z/λ≤λ²y²+z²/λ²
2zx＝2·λx·z/λ≤λ²x²+z²/λ²
xy≤(x²+y²)/2
∴xy+2yz+2zx
≤(λ²+1/2)x²+(λ²+1/2)+(2/λ²)z²
令λ²+1/2＝2/λ²→λ²＝(√33-1)/4.
∴λ²+1/2＝(1+√33)/4
∴所求最大值為(1+√33)/4.
解法二：
依嵌入不等式
x²+y²+z²≥2xycosA+2yzcosB+2zxcosC
(A+B+C＝π)
令cosB＝cosC＝2cosA,得B＝C,A＝π-2B.
∴cosB＝2cos(π-2B)→cosB＝(-1+√33)/8.
代回嵌入不等式,得
所求最大值為：(1+√33)/4.題目木有抄錯(cuò)，這是老師上課的時(shí)候出的思考題，謝謝！