（1）證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥DG，
所以∠B=∠GCE，∠G=∠BFE，
所以△BEF∽△CEG．
（2）△BEF與△CEG的周長之和為定值．
理由一：過點C作FG的平行線交直線AB于H，
因為GF⊥AB，所以四邊形FHCG為矩形．
所以FH=CG，F(xiàn)G=CH，
因此，△BEF與△CEG的周長之和等于BC+CH+BH，
∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH，
∴

AB

BC

＝

AM

CH

由BC=10，AB=5，AM=4，
可得CH=8，
∴BH=6，
所以BC+CH+BH=24；
理由二：由AB=5，AM=4，可知：
在Rt△BEF與Rt△GCE中，有：EF=

4

5

BE，BF=

3

5

BE，GE=

4

5

EC，GC=

3

5

CE，
所以，△BEF的周長是

12

5

BE，△ECG的周長是

12

5

CE，
又BE+CE=10，因此△BEF與△CEG的周長之和是24．
（3）設(shè)BE=x，則EF=

4

5

x，GC=

3

5

（10-x），
所以y=

1

2

EF?DG=

1

2

?

4

5

x[

3

5

（10-x）+5]=-

6

25

x²+

22

5

x，
配方得：y=-

6

25

（x-

55

6

）²+

121

6

．
所以，當(dāng)x=

55

6

時，y有最大值．
最大值為

121

6

．