顯然x>0
先對f(x)求導f'(x)=2ax+1/x-(a+2)
令f'(x)=0有2ax^2-(a+2)x+1=0，即x^2-(1/2+1/a)+1/2a=(x-1/2)(x-1/a)=0
解得x=1/2或x=1/a

注意到f(1)=a*1^2-(a+2)*1-ln1=-2

當a=2即1/a=1/2時，f'(x)>0恒成立，則f(x)遞增

而此時區(qū)間[1，e]上函數也遞增，最大值fmax=f(e)>f(1)=-2，顯然a=2不符合要求

當a>2即0<1/a<1/2時

區(qū)間(0,1/a)上f'(x)>0，則f(x)遞增

區(qū)間(1/a,1/2)上f'(x)<0，則f(x)遞減

區(qū)間(1/2,+∞)上f'(x)>0，則f(x)遞增

可見，f(1/a)取得極大值，f(1/2)取得極小值

而此時區(qū)間[1，e]上函數遞增，最大值fmax=f(e)>f(1)=-2，顯然a>2也不符合要求

當0<a<2即1/a>1/2時

區(qū)間(0,1/2)上f'(x)>0，則f(x)遞增

區(qū)間(1/2,1/a)上f'(x)<0，則f(x)遞減

區(qū)間(1/a,+∞)上f'(x)>0，則f(x)遞增

可見，f(1/2)取得極大值，f(1/a)取得極小值

• 當1/2<1/a≤1即1≤a<2時，區(qū)間[1，e]上函數遞增，最大值fmax=f(e)>f(1)=-2，不符合要求

• 當1<1/a≤e即1/e≤a<1時，區(qū)間[1，e]上函數無單調，最大值fmax=max{f(1),f(e)}。若要使最大值為f(1)=-2，則有f(e)≤f(1)，即ae^2-(a+2)e+1≤-2，即a≤(2e-3)/(e^2-e)。顯然1/e<(2e-3)/(e^2-e)<1，也就是說當1/e≤a≤(2e-3)/(e^2-e)時函數f(x)在區(qū)間[1，e]上取得最大值-2。

• 當1/a>e即0<a<1/e時，區(qū)間[1，e]上函數遞減，最大值fmax=f(1)=-2，符合要求。

   

綜上，符合要求的a的取值范圍為0<a<1/e或1/e≤a≤(2e-3)/(e^2-e)，即0<a≤(2e-3)/(e^2-e)