求高手推導(dǎo)拋物線焦點(diǎn)弦長公式
求高手推導(dǎo)拋物線焦點(diǎn)弦長公式
求推導(dǎo)AB=2p/sin²a（a為過焦點(diǎn)直線的傾斜角）
求推導(dǎo)AB=2p/sin²a（a為過焦點(diǎn)直線的傾斜角）
數(shù)學(xué)人氣：536 ℃時間：2019-12-26 14:52:08
優(yōu)質(zhì)解答
（1）當(dāng)直線的斜率不存在時,即a=90°
xA=xB=p/2
∴ yA=p,yB=-p
∴ |AB|=2p=2p/sin²90°
（2）當(dāng)直線斜率存在時,k=tana
直線方程是y=k(x-p/2)
代入拋物線方程y²=2px
則k²(x-p/2)²=2px
∴ k²x²-(k²p+2p)x+k²p²/4=0
利用韋達(dá)定理,則xA+xB=(k²p+2p)/k²
利用拋物線定義
|AB|=|AF|+|BF|=xA+p/2+xB+p/2=xA+xB+p
即 |AB|=(k²p+2p)/k²+p
=2p+2p/k²
=2p(1+1/k²)
=2p*(1+cos²a/sin²a)
=2p*(sin²a+cos²a)/sin²a
=2p/sin²a
綜上,|AB|=2p/sin²a
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