如圖,三角形ABC三邊AB,AC,BC與內(nèi)切圓分別切于D,E,F,FG垂直于DE于G,求證：DG/EG=BF/CF

數(shù)學(xué)人氣：627 ℃時(shí)間：2019-08-18 09:29:03

優(yōu)質(zhì)解答

令△ABC的內(nèi)心為O,連DF、EF分別與BO、CO于M、N.
容易證出：∠BMF＝∠CNF＝90°,FM＝（1/2）DF、FN＝（1/2）EF,∴DF/EF＝FM/FN.
明顯有：∠BFM＝∠FEG、∠CFN＝∠FDG.
由∠BMF＝∠FGE＝90°、∠BFM＝∠FEG,得：△BFM∽△FEG,∴BF/EF＝FM/EG.······①
由∠CNF＝∠FGD＝90°、∠CFN＝∠FDG,得：△CFN∽△FDG,∴CF/DF＝FN/DG.······②
①÷②,得：（BF/EF）/（CF/DF）＝（FM/EG）/（FN/DG）,
∴（BF/CF）（DF/EF）＝（FM/FN）（DG/EG）,而DF/EF＝FM/FN,∴DG/EG＝BF/CF.