求教：二重積分對稱性定理,積分區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對稱時的問題
二重積分對稱性定理：
積分區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)對稱,f(x,y)同時為x,y的奇或偶函數(shù),則
∫∫f(x,y)dxdy（在區(qū)域D上積分）=0（當(dāng)f關(guān)于x,y的奇函數(shù),即f(-x,-y)=-f(x,y)時）
或
∫∫f(x,y)dxdy（在區(qū)域D上積分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在區(qū)域D*上積分,其中區(qū)域D*是區(qū)域D在x>=0(或y>=0)的部分）,（當(dāng)f關(guān)于x,y的偶函數(shù),即f(-x,-y)=f(x,y)時）
例：
計(jì)算I=∫∫xydxdy（在區(qū)域D上積分）,
其中區(qū)域D為雙曲線（x^2+y^2）^2=2xy所圍成
區(qū)域D：（x^2+y^2）^2=2xy關(guān)于原點(diǎn)對稱,
又f(-x,-y)=(-x)*(-y)=xy=f(x,y)
所以∫∫xydxdy（在區(qū)域D上積分）=2∫∫xydxdy（在區(qū)域D*上積分）,其中區(qū)域D*是區(qū)域D的第1象限部分
（定理是蔡子華書上的,例題是陳文燈書上的,陳文燈書上的定理沒寫后面的條件.定理與例題區(qū)域D*矛盾,到底誰的是對的.