本題是許瓦茲不等式,不是用中值定理來證的.
以下所有積分區(qū)域均為[a→b]
構(gòu)造函數(shù)g(t)=t^2∫e^f(x)dx + 2(b-a)t + ∫e^-f(x)dx (1)
由于定積分的結(jié)果只是一個(gè)數(shù)字,因此g(t)關(guān)于t是一個(gè)二次函數(shù),注意到b-a=∫ 1 dx
因此得：g(t)=t^2∫e^f(x)dx + 2t∫ 1 dx + ∫e^-f(x)dx
=∫ [t^2e^f(x)+ 2t + e^-f(x)]dx 注意到被積函數(shù)是一個(gè)完全平方
=∫ { te^[f(x)/2] + e^[-f(x)/2] }^2 dx
≥0
因此g(t)是一個(gè)恒≥0的二次函數(shù),因此判別式Δ≤0
對(duì)照（1）式寫出判別式：
4(b-a)² - 4∫e^f(x)dx∫e^-f(x)dx ≤ 0
整理后即為：∫e^f(x)dx+∫e^-f(x)dx≥(b-a)^2,證畢.
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