怎么證明根號5是無理數(shù)
通俗地說,無理數(shù)是不能化為分?jǐn)?shù)的數(shù),
嚴(yán)格地說,無理數(shù)就是不能寫成兩個整數(shù)比的數(shù).
用反證法證明√5是無理數(shù).
設(shè)√5不是無理數(shù)而是有理數(shù),則設(shè)√5=p/q(p,q是正整數(shù),且互為質(zhì)數(shù),即最大公約數(shù)是1)
兩邊平方,5=p^2/q^2,p^2=5q^2(*)
p^2含有因數(shù)5,設(shè)p=5m
代入(*),25m^2=5q^2,q^2=5m^2
q^2含有因數(shù)5,即q有因數(shù)5
這樣p,q有公因數(shù)5,
這與假設(shè)p,q最大公約數(shù)為1矛盾,
√5=p/q(p,q是正整數(shù),且互為質(zhì)數(shù),即最大公約數(shù)是1)不成立,
√5不是有理數(shù)而是無理數(shù).
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這是我網(wǎng)上找來的證明
但是難以理解
p^2含有因數(shù)5,設(shè)p=5m
這一步是怎么來的
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我用這種方法證明3是無理數(shù)
設(shè)3不是無理數(shù)而是有理數(shù),則設(shè)3=p/q(p,q是正整數(shù),且互為質(zhì)數(shù),即最大公約數(shù)是1)
兩邊平方,9=p^2/q^2,p^2=9q^2(*)
p^2含有因數(shù)9,設(shè)p=9m
代入(*),81m^2=9q^2,q^2=9m^2
q^2含有因數(shù)9,即q有因數(shù)9
這樣p,q有公因數(shù)9,
這與假設(shè)p,q最大公約數(shù)為1矛盾,
3=p/q(p,q是正整數(shù),且互為質(zhì)數(shù),即最大公約數(shù)是1)不成立,
3不是有理數(shù)而是無理數(shù).
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也成立啊