通俗地說(shuō),無(wú)理數(shù)是不能化為分?jǐn)?shù)的數(shù),
嚴(yán)格地說(shuō),無(wú)理數(shù)就是不能寫成兩個(gè)整數(shù)比的數(shù).
用反證法證明√5是無(wú)理數(shù).
設(shè)√5不是無(wú)理數(shù)而是有理數(shù),則設(shè)√5=p/q(p,q是正整數(shù),且互為質(zhì)數(shù),即最大公約數(shù)是1)
兩邊平方,5=p^2/q^2,p^2=5q^2(*)
p^2含有因數(shù)5,設(shè)p=5m
代入(*),25m^2=5q^2,q^2=5m^2
q^2含有因數(shù)5,即q有因數(shù)5
這樣p,q有公因數(shù)5,
這與假設(shè)p,q最大公約數(shù)為1矛盾,
√5=p/q(p,q是正整數(shù),且互為質(zhì)數(shù),即最大公約數(shù)是1)不成立,
√5不是有理數(shù)而是無(wú)理數(shù).