首先,在實數(shù)上我們良好地定義了exp(x),關(guān)鍵就是怎么把這個東西拓展到復(fù)數(shù)域中.在這里,我們用一個叫解析開拓的常用方法.
在實數(shù)域上,我們顯然有：
exp(x)=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+...=sigma((x^n)/n!,n=0..infinity)
然后,我們在復(fù)數(shù)域上也令這個關(guān)系成立.這就得出了復(fù)數(shù)域上的指數(shù)函數(shù).
為什么這樣定義的指數(shù)函數(shù)在復(fù)數(shù)域上每一點都有定義呢?很簡單,因為上面的級數(shù)對于任意x都是絕對收斂的.絕對收斂這個概念不僅僅適用于實數(shù),還可以用于復(fù)數(shù),甚至拓展到一般的賦范線性空間.
這里沒怎么用到復(fù)分析,就是解析開拓這個名詞是在復(fù)分析里邊學(xué)的.