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    已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an-2an-1-2n-1=0（n∈N*，n≥2）．（1）求證：數(shù)列{an2n}是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn．
    

    已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an-2an-1-2n-1=0（n∈N*，n≥2）．
    （1）求證：數(shù)列{
    an
    2n
    }    是等差數(shù)列；
    （2）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn．
    

    數(shù)學(xué)人氣：982 ℃時(shí)間：2020-05-19 17:29:53
    

    優(yōu)質(zhì)解答
    

    （1）證明：∵數(shù)列{an}滿足a1=1， an-2an-1-2n-1=0(n∈N*，n≥2)，
    ∴
    an
    2n
    -
    an-1
    2n-1
    =
    1
    2
    ，
    又
    a1
    2
    =
    1
    2
    ，
    ∴{
    an
    2n
    }是以
    1
    2
    為首項(xiàng)，
    1
    2
    為公比的等差數(shù)列．
    （2） 由（1）知
    an
    2n
    =
    1
    2
    +
    1
    2
    (n-1)    ，
    ∴an=n?2n-1，
    ∴Sn=1?20+2?2+3?22+…+n?2n-1，①
    2Sn=1?2+2?22+3?23+…+n?2n，②
    ①-②，得：
    -Sn=1=1+2+22+…+2n-n?2n
    =
    1-2n
    1-2
    -n?2n
    =2n-1-n?2n，
    ∴Sn=（n-1）?2n+1．
    

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