（本小題滿分13分）
（I） 由題意，當n=1時，得2a₁=a₁+3，解得a₁=3．
當n=2時，得2a₂=（a₁+a₂）+5，解得a₂=8．
當n=3時，得2a₃=（a₁+a₂+a₃）+7，解得a₃=18．
所以a₁=3，a₂=8，a₃=18為所求．…（3分）
（Ⅱ）證明：因為2a_n=S_n+2n+1，所以有2a_n+1=S_n+1+2n+3成立．
兩式相減得：2a_n+1-2a_n=a_n+1+2．
所以a_n+1=2a_n+2（n∈N^*），即a_n+1+2=2（a_n+2）．…（5分）
所以數(shù)列{a_n+2}是以a₁+2=5為首項，公比為2的等比數(shù)列．…（7分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ） 得：a_n+2=5×2^n-1，即a_n=5×2^n-1-2（n∈N^*）．
則na_n=5n?2^n-1-2n（n∈N^*）．…（8分）
設數(shù)列{5n?2^n-1}的前n項和為P_n，
則P_n=5×1×2⁰+5×2×2¹+5×3×2²+…+5×（n-1）?2^n-2+5×n?2^n-1，
所以2P_n=5×1×2¹+5×2×2²+5×3×2³+…+5（n-1）?2^n-1+5n?2ⁿ，
所以-P_n=5（1+2¹+2²+…+2^n-1）-5n?2ⁿ，
即P_n=（5n-5）?2ⁿ+5（n∈N^*）．…（11分）
所以數(shù)列{n?a_n}的前n項和T_n=(5n-5)?2n+5-2×

n(n+1)

2

，
整理得，T_n=（5n-5）?2ⁿ-n²-n+5（n∈N^*）．…（13分）