數(shù)的誕生
數(shù)學(xué)——自然科學(xué)之父,起源于用來計(jì)數(shù)的自然數(shù)的偉大發(fā)明.
若干年以前,人類的祖先為了生存,往往幾十人在一起,過著群居的生活.他們白天共同勞動(dòng),搜捕野獸、飛禽或采集果薯食物；晚上住在洞穴里,共同享用勞動(dòng)所得.在長(zhǎng)期的共同勞動(dòng)和生活中,他們之間逐漸到了有些什么非說不可的地步,于是產(chǎn)生了語言.他們能用簡(jiǎn)單的語言夾雜手勢(shì),來表達(dá)感情和交流思想.隨著勞動(dòng)內(nèi)容的發(fā)展,他們的語言也不斷發(fā)展,終于超過了一切其他動(dòng)物的語言.其中的主要標(biāo)志之一,就是語言包含了算術(shù)的色彩
人類先是產(chǎn)生了“數(shù)”的朦朧概念.他們狩獵而歸,獵物或有或無,于是有了“有”與“無”兩個(gè)概念.連續(xù)幾天“無”獸可捕,就沒有肉吃了,“有”、“無”的概念便逐漸加深.
后來,群居發(fā)展為部落.部落由一些成員很少的家庭組成.所謂“有”,就分為“一”、“二”、“三”、“多”等四種（有的部落甚至連“三”也沒有）.任何大于“三”的數(shù)量,他們都理解為“多”或者“一堆”、“一群”.有些酋長(zhǎng)雖是長(zhǎng)者,卻說不出他捕獲過多少種野獸,看見過多少種樹,如果問巫醫(yī),巫醫(yī)就會(huì)編造一些詞匯來回答“多少種”的問題,并煞有其事地吟誦出來.然而,不管怎樣,他們已經(jīng)可以用雙手說清這樣的話（用一個(gè)指頭指鹿,三個(gè)指頭指箭）：“要換我一頭鹿．你得給我三枝箭.”這是他們當(dāng)時(shí)沒有的算術(shù)知識(shí).
大約在1萬年以前,冰河退卻了.一些從事游牧的石器時(shí)代的狩獵者在中東的山區(qū)內(nèi),開始了一種新的生活方式——農(nóng)耕生活.他們碰到了怎樣的記錄日期、季節(jié),怎樣計(jì)算收藏谷物數(shù)、種子數(shù)等問題.特別是在尼羅河谷、底格里斯河與幼發(fā)拉底河流域發(fā)展起更復(fù)雜的農(nóng)業(yè)社會(huì)時(shí),他們還碰到交納租稅的問題.這就要求數(shù)有名稱.而且計(jì)數(shù)必須更準(zhǔn)確些,只有“一”、“二”、“三”、“多”,已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用了.
底格里斯河與幼發(fā)拉底河之間及兩河周圍,叫做美索不達(dá)米亞,那兒產(chǎn)生過一種文化,與埃及文化一樣,也是世界上最古老的文化之一.美索不達(dá)米亞人和埃及人雖然相距很遠(yuǎn),但卻以同樣的方式建立了最早的書寫自然數(shù)的系統(tǒng)——在樹木或者石頭上刻痕劃印來記錄流逝的日子.盡管數(shù)的形狀不同,但又有共同之處,他們都是用單劃表示“一”.
后來（特別是以村寨定居后）,他們逐漸以符號(hào)代替刻痕,即用1個(gè)符號(hào)表示1件東西,2個(gè)符號(hào)表示2件東西,依此類推,這種記數(shù)方法延續(xù)了很久.大約在5000年以前,埃及的祭司已在一種用蘆葦制成的草紙上書寫數(shù)的符號(hào),而美索不達(dá)米亞的祭司則是寫在松軟的泥板上.他們除了仍用單劃表示“－”以外,還用其它符號(hào)表示“＋”或者更大的自然數(shù)；他們重復(fù)地使用這些單劃和符號(hào),以表示所需要的數(shù)字.
公元前1500年,南美洲秘魯印加族（印第安人的一部分）習(xí)慣于“結(jié)繩記數(shù)”——每收進(jìn)一捆莊稼,就在繩子上打個(gè)結(jié),用結(jié)的多少來記錄收成.“結(jié)”與痕有一樣的作用,也是用來表示自然數(shù)的.根據(jù)我國(guó)古書《易經(jīng)》的記載,上古時(shí)期的中國(guó)人也是“結(jié)繩而治”,就是用在繩上打結(jié)的辦法來記事表數(shù).后來又改為“書契”,即用刀在竹片或木頭上刻痕記數(shù)．用一劃代表“一”.直到今天,我們中國(guó)人還常用“正”字來記數(shù)．每一劃代表“一”.當(dāng)然,這個(gè)“正”字還包含著“逢五進(jìn)一”的意思.
人類是動(dòng)物進(jìn)化的產(chǎn)物,最初也完全沒有數(shù)量的概念.但人類發(fā)達(dá)的大腦對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)已經(jīng)達(dá)到更加理性和抽象的地步.這樣,在漫長(zhǎng)的生活實(shí)踐中,由于記事和分配生活用品等方面的需要,才逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念.比如捕獲了一頭野獸,就用1塊石子代表.捕獲了3頭,就放3塊石子."結(jié)繩記事"也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事.我國(guó)古書《易經(jīng)》中有"結(jié)繩而治"的記載.傳說古代波斯王打仗時(shí)也常用繩子打結(jié)來計(jì)算天數(shù).用利器在樹皮上或獸皮上刻痕,或用小棍擺在地上計(jì)數(shù)也都是古人常用的辦法.這些辦法用得多了,就逐漸形成數(shù)的概念和記數(shù)的符號(hào).
數(shù)的概念最初不論在哪個(gè)地區(qū)都是1、2、3、4……這樣的自然數(shù)開始的,但是記數(shù)的符號(hào)卻大小相同.
古羅馬的數(shù)字相當(dāng)進(jìn)步,現(xiàn)在許多老式掛鐘上還常常使用.
實(shí)際上,羅馬數(shù)字的符號(hào)一共只有7個(gè)：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）.這7個(gè)符號(hào)位置上不論怎樣變化,它所代表的數(shù)字都是不變的.它們按照下列規(guī)律組合起來,就能表示任何數(shù)：
1．重復(fù)次數(shù)：一個(gè)羅馬數(shù)字符號(hào)重復(fù)幾次,就表示這個(gè)數(shù)的幾倍.如："III"表示"3"；"XXX"表示"30".
2．右加左減：一個(gè)代表大數(shù)字的符號(hào)右邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號(hào),就表示大數(shù)字加小數(shù)字,如"VI"表示"6","DC"表示"600".一個(gè)代表大數(shù)字的符號(hào)左邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號(hào),就表示大數(shù)字減去小數(shù)字的數(shù)目,如"IV"表示"4","XL"表示"40","VD"表示"495".
3．上加橫線：在羅馬數(shù)字上加一橫線,表示這個(gè)數(shù)字的一千倍.如：""表示 "15,000",""表示"165,000".
我國(guó)古代也很重視記數(shù)符號(hào),最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數(shù)的符號(hào),不過難寫難認(rèn),后人沒有沿用.到春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期,生產(chǎn)迅速發(fā)展,適應(yīng)這一需要,我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法--籌算.籌算用的算籌是竹制的小棍,也有骨制的.按規(guī)定的橫豎長(zhǎng)短順序擺好,就可用來記數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算.隨著籌算的普及,算籌的擺法也就成為記數(shù)的符號(hào)了.算籌擺法有橫縱兩式,都能表示同樣的數(shù)字.
從算籌數(shù)碼中沒有"10"這個(gè)數(shù)可以清楚地看出,籌算從一開始就嚴(yán)格遵循十位進(jìn)制.9位以上的數(shù)就要進(jìn)一位.同一個(gè)數(shù)字放在百位上就是幾百,放在萬位上就是幾萬.這樣的計(jì)算法在當(dāng)時(shí)是很先進(jìn)的.因?yàn)樵谑澜绲钠渌胤秸嬲褂檬M(jìn)位制時(shí)已到了公元6世紀(jì)末.但籌算數(shù)碼中開始沒有"零",遇到"零"就空位.比如"6708",就可以表示為"┴ ╥ ".數(shù)字中沒有"零",是很容易發(fā)生錯(cuò)誤的.所以后來有人把銅錢擺在空位上,以免弄錯(cuò),這或許與"零"的出現(xiàn)有關(guān).不過多數(shù)人認(rèn)為,"0"這一數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)明應(yīng)歸功于公元6世紀(jì)的印度人.他們最早用黑點(diǎn)（·）表示零,后來逐漸變成了"0".
說起"0"的出現(xiàn),應(yīng)該指出,我國(guó)古代文字中,"零"字出現(xiàn)很早.不過那時(shí)它不表示"空無所有",而只表示"零碎"、"不多"的意思.如"零頭"、"零星"、"零丁"."一百零五"的意思是：在一百之外,還有一個(gè)零頭五.隨著阿拉數(shù)字的引進(jìn)."105"恰恰讀作"一百零五","零"字與"0"恰好對(duì)應(yīng),"零"也就具有了"0"的含義.
如果你細(xì)心觀察的話,會(huì)發(fā)現(xiàn)羅馬數(shù)字中沒有"0".其實(shí)在公元5世紀(jì)時(shí),"0"已經(jīng)傳入羅馬.但羅馬教皇兇殘而且守舊.他不允許任何使用"0".有一位羅馬學(xué)者在筆記中記載了關(guān)于使用"0"的一些好處和說明,就被教皇召去,施行了拶（zǎn）刑,使他再也不能握筆寫字.
但"0"的出現(xiàn),誰也阻擋不住.現(xiàn)在,"0"已經(jīng)成為含義最豐富的數(shù)字符號(hào)."0"可以表示沒有,也可以表示有.如：氣溫0℃,并不是說沒有氣溫；"0"是正負(fù)數(shù)之間唯一的中性數(shù)；任何數(shù)（0除外）的0次冪等于1；0!=1（零的階乘等于1）.
除了十進(jìn)制以外,在數(shù)學(xué)萌芽的早期,還出現(xiàn)過五進(jìn)制、二進(jìn)制、三進(jìn)制、七進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制、十六進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制等多種數(shù)字進(jìn)制法.在長(zhǎng)期實(shí)際生活的應(yīng)用中,十進(jìn)制最終占了上風(fēng).
現(xiàn)在世界通用的數(shù)碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,人們稱之為阿拉伯?dāng)?shù)字.實(shí)際上它們是古代印度人最早使用的.后來阿拉伯人把古希臘的數(shù)學(xué)融進(jìn)了自己的數(shù)學(xué)中去,又把這一簡(jiǎn)便易寫的十進(jìn)制位值記數(shù)法傳遍了歐洲,逐漸演變成今天的阿拉伯?dāng)?shù)字.
數(shù)的概念、數(shù)碼的寫法和十進(jìn)制的形成都是人類長(zhǎng)期實(shí)踐活動(dòng)的結(jié)果.
隨著生產(chǎn)、生活的需要,人們發(fā)現(xiàn),僅僅能表示自然數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不行的.如果分配獵獲物時(shí),5個(gè)人分4件東西,每個(gè)人人該得多少呢?于是分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了.中國(guó)對(duì)分?jǐn)?shù)的研究比歐洲早1400多年!自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和零,通稱為算術(shù)數(shù).自然數(shù)也稱為正整數(shù).
隨著社會(huì)的發(fā)展,人們又發(fā)現(xiàn)很多數(shù)量具有相反的意義,比如增加和減少、前進(jìn)和后退、上升和下降、向東和向西.為了表示這樣的量,又產(chǎn)生了負(fù)數(shù).正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零,統(tǒng)稱為整數(shù).如果再加上正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù),就統(tǒng)稱為有理數(shù).有了這些數(shù)字表示法,人們計(jì)算起來感到方便多了.
但是,在數(shù)字的發(fā)展過程中,一件不愉快的事發(fā)生了.讓我們回到大經(jīng)貿(mào)部2500年前的希臘,那里有一個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,是一個(gè)研究數(shù)學(xué)、科學(xué)和哲學(xué)的團(tuán)體.他們認(rèn)為"數(shù)"是萬物的本源,支配整個(gè)自然界和人類社會(huì).因此世間一切事物都可歸結(jié)為數(shù)或數(shù)的比例,這是世界所以美好和諧的源泉.他們所說的數(shù)是指整數(shù).分?jǐn)?shù)的出現(xiàn),使"數(shù)"不那樣完整了.但分?jǐn)?shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比,所以他們的信仰沒有動(dòng)搖.但是學(xué)派中一個(gè)叫希帕索斯的學(xué)生在研究1與2的比例中項(xiàng)時(shí),發(fā)現(xiàn)沒有一個(gè)能用整數(shù)比例寫成的數(shù)可以表示它.如果設(shè)這個(gè)數(shù)為X,既然,推導(dǎo)的結(jié)果即x2=2.他畫了一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,設(shè)對(duì)角線為x ,根據(jù)勾股定理x2=12+12=2,可見邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度即是所要找的那個(gè)數(shù),這個(gè)數(shù)肯定是存在的.可它是多少?又該怎樣表示它呢?希帕索斯等人百思不得其解,最后認(rèn)定這是一個(gè)從未見過的新數(shù).這個(gè)新數(shù)的出現(xiàn)使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派感到震驚,動(dòng)搖了他們哲學(xué)思想的核心.為了保持支撐世界的數(shù)學(xué)大廈不要坍塌,他們規(guī)定對(duì)新數(shù)的發(fā)現(xiàn)要嚴(yán)守秘密.而希帕索斯還是忍不住將這個(gè)秘密泄露了出去.據(jù)說他后來被扔進(jìn)大海喂了鯊魚.然而真理是藏不住的.人們后來又發(fā)現(xiàn)了很多不能用兩整數(shù)之比寫出來的數(shù),如圓周率 就是最重要的一個(gè).人們把它們寫成 π、等形式,稱它們?yōu)闊o理數(shù).
有理數(shù)和無理數(shù)一起統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)各種數(shù)的研究使數(shù)學(xué)理論達(dá)到了相當(dāng)高深和豐富的程度.這時(shí)人類的歷史已進(jìn)入19世紀(jì).許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)成就已經(jīng)登峰造極,數(shù)字的形式也不會(huì)有什么新的發(fā)現(xiàn)了.但在解方程的時(shí)候常常需要開平方如果被開方數(shù)負(fù)數(shù),這道題還有解嗎?如果沒有解,那數(shù)學(xué)運(yùn)算就像走在死胡同中那樣處處碰壁.于是數(shù)學(xué)家們就規(guī)定用符號(hào)"i "表示"-1"的平方根,即i＝,虛數(shù)就這樣誕生了."i "成了虛數(shù)的單位.后人將實(shí)數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來,寫成 a＋bi的形式（a、b均為實(shí)數(shù)）,這就是復(fù)數(shù).在很長(zhǎng)一段時(shí)間里,人們?cè)趯?shí)際生活中找不到用虛數(shù)和復(fù)數(shù)表示的量,所以虛數(shù)總讓人感到虛無縹緲.隨著科學(xué)的發(fā)展,虛數(shù)現(xiàn)在在水力學(xué)、地圖學(xué)和航空學(xué)上已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用,在掌握和會(huì)使用虛數(shù)的科學(xué)家眼中,虛數(shù)一點(diǎn)也不"虛"了.
數(shù)的概念發(fā)展到虛和復(fù)數(shù)以后,在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi),連某些數(shù)學(xué)家也認(rèn)為數(shù)的概念已經(jīng)十分完善了,數(shù)學(xué)家族的成員已經(jīng)都到齊了.可是1843年10月16日,英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密爾頓又提出了"四元數(shù)"的概念.所謂四元數(shù),就是一種形如的數(shù).它是由一個(gè)標(biāo)量 （實(shí)數(shù)）和一個(gè)向量（其中x 、y 、z 為實(shí)數(shù)）組成的.四元數(shù)的數(shù)論、群論、量子理論以及相對(duì)論等方面有廣泛的應(yīng)用.與此同時(shí),人們還開展了對(duì)"多元數(shù)"理論的研究.多元數(shù)已超出了復(fù)數(shù)的范疇,人們稱其為超復(fù)數(shù).
由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要,向量、張量、矩陣、群、環(huán)、域等概念不斷產(chǎn)生,把數(shù)學(xué)研究推向新的高峰.這些概念也都應(yīng)列入數(shù)字計(jì)算的范疇,但若歸入超復(fù)數(shù)中不太合適,所以,人們將復(fù)數(shù)和超復(fù)數(shù)稱為狹義數(shù),把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數(shù).盡管人們對(duì)數(shù)的歸類法還有某些分歧,但在承認(rèn)數(shù)的概念還會(huì)不斷發(fā)展這一點(diǎn)上意見是一致的.到目前為止,數(shù)的家庭已發(fā)展得十分龐大.