(1)
定義域x > 0
f'(x) = 1/x + 2x - 2a = (2x² - 2ax + 1)/x = 0
2x² - 2ax + 1 = 0
判別式∆ = 4a² - 8
(i) ∆ ≤ 0,a² ≤ 2
2x² - 2ax + 1為開口向上的拋物線,與x軸最多有一個公共點,在定義域內(nèi)f'(x) ≥ 0,f(x)在[1/2,2]上單調(diào)遞增
(ii) ∆ > 0,a² > 2
2x² - 2ax + 1為開口向上的拋物線,與x軸有2個公共點
x₁ = [a - √(a² - 2)]/2,x₂ = [a + √(a² - 2)]/2
若f(x)函數(shù)在[1/2,2]上單調(diào)遞增,只須x₁ = [a - √(a² - 2)]/2 > 1或 x₂ = [a + √(a² - 2)]/2
x₁ = [a - √(a² - 2)]/2 > 1,a - √(a² - 2) > 2
a - 2 > √(a² - 2) ( 須a - 2 > 0才有意義)
a² - 4a + 4 > a² - 2
a < 3/2
與a - 2 > 0矛盾,舍去
x₂ = [a + √(a² - 2)]/2 < 1/2
a + √(a² - 2) < 1
√(a² - 2) < 1 - a ( 須1 - a > 0才有意義)
a² - 2 < a² - 2a + 1
2a < 3,a < 3/2
結(jié)合前提1 - a > 0得a < 1
再結(jié)合大前提a² > 2,得a < -√2
結(jié)合(i)(ii):a ≤ √2
(2)
(i) a² ≤ 2時無極值點
(ii) a² > 2
x₁ = [a - √(a² - 2)]/2,x₂ = [a + √(a² - 2)]/2
f(x₁)為極大值,f(x₂)為極小值
f(x₁) = ln[a - √(a² - 2)] - ln2 + [a + √(a² - 2)]²/4 = lnx₁ + x₂²
f(x₂) = ln[a + √(a² - 2)] - ln2 + [a - √(a² - 2)]²/4 = lnx₂ + x₁²