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    過橢圓x216+y24=1內(nèi)一點M（1，1）的弦AB． （1）若點M恰為弦AB的中點，求直線AB的方程； （2）求過點M的弦的中點的軌跡方程．
    

    過橢圓
    x2
    16
    +
    y2
    4
    =1    內(nèi)一點M（1，1）的弦AB．
     
    （1）若點M恰為弦AB的中點，求直線AB的方程；
    （2）求過點M的弦的中點的軌跡方程．
    

    數(shù)學(xué)人氣：387 ℃時間：2019-11-24 18:29:50
    

    優(yōu)質(zhì)解答
    

    （1）設(shè)直線AB的斜率為k，則AB的方程可設(shè)為y-1=k（x-1）．
    y-1=k(x-1)
    x2
    16
    +
    y2
    4
    =1
    得x2+4（kx+1-k）2=16
    得（1+4k2）x2+8k（1-k）x+4（1-k2）-16=0
    設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=
    8k(k-1)
    1+4k2
    ，
    而M(1，1)是AB中點，則
    x1+x2
    2
    =1    ．
    綜上，得
    8k(k-1)
    1+4k2
    =2，解得k=-
    1
    4
    ．
    ∴直線AB的方程為y-1=-
    1
    4
    (x-1)，即x+4y-5=0    ．
    （2）設(shè)弦AB的中點為P（x，y）
    ∵A，B，M，P四點共線，
    ∴kAB=kMP
    即(-
    1
    4
    )?
    x1+x2
    y1+y2
    =
    y-1
    x-1
    ，而x1+x2=2x，y1+y2=2y
    ∴(-
    1
    4
    )
    2x
    2y
    =
    y-1
    x-1
    ，整理，得軌跡方程為x2+4y2-x-4y=0    ．
    

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