比如說A=diag{A1,A2}, r(A1)=r, r(A2)=s
先取可逆陣P1,Q1,P2,Q2使得A1=P1D1Q1, A2=P2D2Q2
其中D1=diag{I_r,0}, D2=diag{I_s,0}
那么A=diag{P1,P2}*diag{I_r,0,I_s,0}*diag{Q1,Q2}
容易看到r(A)=r(diag{I_r,0,I_s,0})=r(diag{I_{r+s},0})=r+s
直接用極大無關(guān)組也可以
先取A1的列的極大無關(guān)組{u_1,...,u_r}以及A2的極大無關(guān)組{v_1,...,v_s}
那么把它們適當(dāng)補(bǔ)0之后（比如[u_1^T,0]^T, [0,v_1^T]^T）可以得到A的列,用定義驗(yàn)證這些列是線性無關(guān)的,并且A的每一列都可以由它們線性表示
如果有多個(gè)對(duì)角塊,把第一塊作為A1,余下的作為A2,對(duì)A2用歸納法