∵S_n=n²a_n，∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴an+1＝

n

n+2

an
∴（1）a₂=

1

6

，a₃=

1

12

，a₄=

1

20

（2）猜測(cè)a_n=

1

n(n+1)

；下面用數(shù)學(xué)歸納法證
①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a_k=

1

k(k+1)

則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1＝

k

k+2

ak＝

k

k+2

×

1

k(k+1)

＝

1

(k+1)(k+2)

故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有a_n=

1

n(n+1)

．