a2=1/3
a3=1/6
a4=1/10
an=1/(1+2+3+...+n)=2/n(n+1)
歸納法證明：
設(shè)n<=i 時(shí),an=2/n(n+1),那么n=i+1時(shí)
S(i+1)=(i+1)^2*a(i+1)
所以a1+a2+...+a(i+1)=(i+1)^2*a(i+1)
所以a1+a2+...+ai=(i+1)^2*a(i+1)-a(i+1)
所以a(i+1)[(i+1)^2-1]=a1+a2+...+ai
=Si
=i^2*ai
=2i^2/[i(i+1)]
=2i/(i+1)
所以a(i+1)=[2i/(i+1)]/[(i+1)^2-1]=[2i/(i+1)]/[i(i+2)]
=2/(i+1)(i+2)
所以n=i+1時(shí),an=2/(i+1)(i+2)=2/n(n+1)成立
所以結(jié)論成立
以后遇到類似的題目如果沒有找到規(guī)律也沒有要求數(shù)學(xué)歸納的話可以直接解,不用數(shù)學(xué)歸納
Sn=n^2*an
S(n-1)=(n-1)^2*a(n-1)
下式減去上式
an=n^2*an-(n-1)^2*a(n-1)
即（n^2-1)an=(n-1)(n-1)a(n-1)
即(n+1)(n-1)an=(n-1)(n-1)a(n-1)
即(n+1)an=(n-1)a(n-1)
還構(gòu)不成遞推數(shù)列,但是兩邊可以同乘n
n(n+1)an=(n-1)n*a(n-1)
這樣就是一個(gè)遞推數(shù)列了
所以n(n+1)an=(n-1)n*a(n-1)
=.
=1*2*a1
=2
所以an=2/n(n+1)