必要性:
若H是G的子群,自然非空,并對乘法和取逆封閉,
從而H ≠ ∅,并對任意a,b ∈ H,有ab⁻¹ ∈ H.
充分性:
首先,由H ≠ ∅,可取a ∈ H,由條件得e = aa⁻¹ ∈ H,
因此H包含G的單位元e.
于是對任意b ∈ H,由條件得b⁻¹ = eb⁻¹ ∈ H,
因此H對取逆封閉.
而對任意a,b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,
進而由條件得ab = a(b⁻¹)⁻¹ ∈ H,
因此H對乘法封閉.
至此我們證明了,H對G的乘法封閉.
1) G作為群,其乘法自然滿足結合律;
2) e ∈ H,e作為G的單位元,滿足對任意a ∈ H,ae = ea = a;
3) 對任意b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,滿足bb⁻¹ = b⁻¹b = e.
因此G的非空子集H關于G乘法構成群,即H是G的子群.
注:如果承認子群的等價定義:對乘法和取逆封閉的非空子集,
則充分性證明只需前半段.