若點(diǎn)P為銳角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn),且角ABC=60度 ,PA=3,PC=4,則PB的值為_(kāi)_______；

數(shù)學(xué)人氣：543 ℃時(shí)間：2020-06-11 20:19:31

優(yōu)質(zhì)解答

2√3
以B為頂點(diǎn),往BC邊外旋轉(zhuǎn)BPC 60度得到BDE,根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的定義,以及旋轉(zhuǎn),有：
1) ∠APB=120度
2) ∠BDE=∠BPC=120度
3) A、P、D、E四點(diǎn)共線(xiàn)
4) △BPD是等邊三角形
5) ∠CBE=60度
因?yàn)椤螦BC=60度,所以
6) ∠ABE=∠ABC + ∠CBE=120度
根據(jù)4)、6)有：
7) ∠ABP + ∠DBE=60度
因?yàn)椤螦BP + ∠BAP=60度,所以
8) ∠DBE=∠BAP
由1)、2)、8)知道△APB相似于△BDE,于是AP/BP=BD/DE=BP/CP
從而B(niǎo)P^2=AP*CP,即BP=2√3