令f(x)=xln(x+1)－xlnx－(x+1)/x,x>=1.
則f'(x)=ln(x+1)－lnx+x/(x+1)－1+1/x^2,
f''(x)=1/(x+1)－1/x+1/(x+1)^2－2/x^3=－1/【(x+1)x】+1/(x+1)^2－2/x^3＝－1/【x(x+1)^2】－2/x^3<0
于是f'(x)是遞減函數(shù),注意到lim (x趨于無(wú)窮)f'(x)=lim ln(1+1/x)+1/x^2－1/(x+1)=0,因此f'(x)>0對(duì)任意的x>=1.
故f(x)是遞增函數(shù),但lim (x趨于無(wú)窮)f(x)=lim 【xln(1+1/x)－(x+1)/x】＝0,于是f(x)<0對(duì)所有的x成立.即有l(wèi)n(1+1/x)<(x+1)/x^2,x>=1時(shí).令x取正整數(shù)即可.
證明:對(duì)任意正整數(shù)n,不等式ln（n+1）/n
證明:對(duì)任意正整數(shù)n,不等式ln（n+1）/n<（n+1）/（n^2）
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