解（1）設(shè)A（x₁，y₁），M（x，y），
由中點(diǎn)公式得x₁=2x-1，y₁=2y-3
因?yàn)锳在圓C上，所以（2x）²+（2y-3）²=4，即x²+（y-1.5）²=1．
點(diǎn)M的軌跡是以（0，1.5）為圓心，1為半徑的圓；
（2）設(shè)L的斜率為k，則L的方程為y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0
因?yàn)镃A⊥CD，△CAD為等腰直角三角形，
由題意知，圓心C（-1，0）到L的距離為

2

．
由點(diǎn)到直線的距離公式得

|-k-k+3|

k2+1

=

2

，
∴4k²-12k+9=2k²+2
∴2k²-12k+7=0，解得k=3±

22

2

．