用向量做.
以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),DA為X軸,DC為Y軸,DD1為Z軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1.
(1)
A(1,0,0) D(0,0,0) D1(0,0,1) P(0,1/2,1) M(0,1,1/2) N(1/2,1,1)
向量D1N=N-D1=(1/2,1,1)-(0,0,1)=(1/2,1,0)
向量D1M=M-D1=(0,1,1/2)-(0,0,1)=(0,1,-1/2)
向量AP=P-A=(0,1/2,1)-(1,0,0)=(-1,1/2,1)
AP(->)*D1N(->)=-1/2+1/2=0
AP(->)⊥D1N(->)
AP(->)*D1M(->)=1/2-1/2=0
AP(->)⊥D1M(->)
D1N交D1M于點(diǎn)D1
AP⊥面D1MN
(2)
過點(diǎn)C1作C1Q垂直MN交MN于點(diǎn)Q,連接D1Q
根據(jù)對(duì)稱性,角C1D1Q即為D1C1與面D1MN所成的角a
tana=CQ/D1C1
CQ=1/2*√2/2=√2/4
D1C1=1
tana=√2/4
不用向量作要作輔助線,而且也要計(jì)算,很麻煩.
取CN中點(diǎn)H,連接PH,并延長(zhǎng)HP與A1D1的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q,連接AQ,AH.
易得：
PH=PQ
D1N//QH
令正方體棱長(zhǎng)為1.
AH^2=1+(3/4)^2+1=41/16
AQ^2=1+(1+1/4)^2=41/16
AH=AQ
在等腰三角形AHQ中
PQ=PH
AP⊥QH
AP⊥D1N
同樣的方法可得：
AP⊥D1M
所以AP⊥面D1MN