過(guò)雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線,與兩漸近線交于B C,若向量AB=1/2向量BC,求離心率

數(shù)學(xué)人氣：432 ℃時(shí)間：2019-08-20 13:18:13

優(yōu)質(zhì)解答

由雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1知兩漸近線方程為y=±bx/a,
過(guò)右頂點(diǎn)A(a,0)且斜率為-1的直線l為y=-x+a,
分別解直線l與兩漸近線所組成的方程組,
得交點(diǎn)B(a²/(a+b),ab/(a+b)),C(a²/(a-b),-ab/(a-b)),
所以向量AB=(-ab/(a+b),ab/(a+b)),向量BC=(2a²b/(a²-b²),-2a²b/(a²-b²))
因?yàn)橄蛄緼B=1/2向量BC,所以-ab/(a+b)=a²b/(a²-b²),即b=2a,
所以c=√(a²+b²)=√5a,離心率e=c/a=√5.