當(dāng)直線l沒有斜率時,
設(shè)l:x=t,代入橢圓C:x^2/4+y^2=1
得：t²/4+y²=1,y²=1-t²/4
∵向量OA*向量OB=0
∴t²=1-t²/4,t²=4/5,|t|=2√5/5
即O到l的距離為2√5/5
當(dāng)直線l有斜率時,
設(shè)l:y=kx+m代入橢圓C:x^2/4+y^2=1
x²/4+(kx+m)²=1
即(4k²+1)x²+8kmx+4m²-4=0
Δ=64k²m²-16(4k²+1)(m²-1)>0
==> 1+4k²>m²
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)
則x1+x2=-8km/(4k²+1),x1x2=4(m²-1)/(4k²+1)
∵向量OA*向量OB=0
∴x1x2+y1y2=0
∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(k²+1)x1x2+km(x1+x2)+m²=0
∴4(k²+1)(m²-1)/(4k²+1)-8k²m²/(4k²+1)+m²=0
∴4(k²+1)(m²-1)-8k²m²+(4k²+1)m²=0
∴ 5m²=4(k²+1) |m|/√(k²+1)=2√5/5
那么O到l的距離d=|m|/√(k²+1)=2√5/5
∴點(diǎn)O到直線AB的距離為定值2√5/5
（2）
k不存在時,|OA|*|OB|=8/5
k存在時,
根據(jù)面積公式：
|OA|*|OB|=|AB|*d
|AB|=4/√5
=√（k²+1)√[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(k²+1)√[64k²m²/(4k²+1)²-16(m²-1)/(4k²+1)]
=√(k²+1)*4/(4k²+1)*√(1+4k²-m²)
=√(k²+1)*4/(4k²+1)*√(1/5+16/5k²)
=4/√5*√[(16k⁴+17k²+1)/(4k²+1)²]
=4/√5*√[1+9k²/(4k²+1)²]
∴k=0時,|AB|取得最小值4/√5
∴|OA|*|OB|=|AB|*d≥4/√5*2√5/5=8/5
即|OA|*|OB|的最小值為8/5