在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CA，CB到點(diǎn)E，F(xiàn)，使DE=DF；過(guò)E，F(xiàn)分別作CA，CB的垂線，相交于P．求證：∠PAE=∠PBF．

數(shù)學(xué)人氣：945 ℃時(shí)間：2019-08-17 00:11:03

優(yōu)質(zhì)解答

如圖，分別取AP、BP的中點(diǎn)M、N，并連接EM、DM、FN、DN．
根據(jù)三角形中位線定理可得：DM∥BP，DM=

BP=BN，DN∥AP，DN=

AP=AM，
∴∠AMD=∠APB=∠BND，
∵M(jìn)、N分別為直角三角形AEP、BFP斜邊的中點(diǎn)，
∴EM=AM=DN，F(xiàn)N=BN=DM，
已知DE=DF，
∴△DEM≌△FDN（SSS），
∴∠EMD=∠FND，
∴∠AME=∠BNF，
∴△AME、△BNF為頂角相等的等腰三角形，
∴∠PAE=∠PBF．

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在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CA，CB到點(diǎn)E，F(xiàn)，使DE=DF；過(guò)E，F(xiàn)分別作CA，CB的垂線，相交于P．求證：∠PAE=∠PBF．

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在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CA，CB到點(diǎn)E，F(xiàn)，使DE=DF；過(guò)E，F(xiàn)分別作CA，CB的垂線，相交于P．求證：∠PAE=∠PBF．