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∵直線L過定點(diǎn)A(2,1)
∴數(shù)形結(jié)合,可設(shè)直線L
y=kx+1-2k
與橢圓方程聯(lián)立,整理可得:
(1+2k²)x²-4k(2k-1)x+8k(k-1)=0
設(shè)弦的兩個端點(diǎn)為M(x1,kx1+1-2k),N(x2,kx2+1-2k)
由韋達(dá)定理可得:x1+x2=4k(2k-1)/(1+2k²).
設(shè)弦MN的中點(diǎn)P(x,y)
則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得
2x=x1+x2=4k(2k-1)/(1+2k²)
2y=k(x1+x2)+2-4k=(2-4k)/(1+2k²)
這兩個式子相除,可得
x/y=-2k,
即k=-x/(2y)
易知,中點(diǎn)P也在直線L:y=kx+1-2k上.
把k=-x/(2y)代入上式,消去k,即得軌跡方程:
x²+2y²-2x-2y=0
整理就是:
[(x-1)²/0.5]+[(y-0.5)²/0.25]=1