例1】判斷下列各式,哪個能確定y是x的函數(shù)?為什么?
(1)x2＋y＝1
(2)x＋y2＝1
解 (1)由x2＋y＝1得y＝1－x2,它能確定y是x的函數(shù)．
于任意的x∈{x|x≤1},其函數(shù)值不是唯一的．
【例2】下列各組式是否表示同一個函數(shù),為什么?
解 (1)中兩式的定義域部是R,對應(yīng)法則相同,故兩式為相同函數(shù)．
(2)、(3)中兩式子的定義域不同,故兩式表示的是不同函數(shù)．
(4)中兩式的定義域都是－1≤x≤1,對應(yīng)法則也相同,故兩式子是相同函數(shù)．
【例3】求下列函數(shù)的定義域：
【例4】已知函數(shù)f(x)的定義域是[0,1],求下列函數(shù)的定義域：
求實數(shù)a的取值范圍．
為所求a的取值范圍．
【例6】求下列函數(shù)的值域：
(1)y＝－5x2＋1
(3)y＝x2－5x＋6,x∈[－1,1)
(4)y＝x2－5x＋6,x∈[－1,3]
(9)y＝|x－2|－|x＋1|
解 (1)∵x∈R,∴－5x2＋1≤1,值域y≤1．
(6)定義域為R
定義域x≠1且x≠2
(y－4)x2－3(y－4)x＋(2y－5)＝0 ①
當(dāng)y－4≠0時,∵方程①有實根,∴Δ≥0,
即9(y－4)2－4(y－4)(2y－5)≥0
化簡得y2－20y＋64≥0,得
y＜4或y≥16
當(dāng)y＝4時,①式不成立．
故值域為y＜4或y≥16．
函數(shù)y在t≥0時為增函數(shù)(見圖2．2－3)．
去掉絕對值符號,
其圖像如圖2．2－4所示．
由圖2．2－4可得值域y∈[－3,3]．
說明 求函數(shù)值域的方法：
1°觀察法：常利用非負數(shù)：平方數(shù)、算術(shù)根、絕對值等．(如例1,2)
2°求二次函數(shù)在指定區(qū)間的值域(最值)問題,常用配方,借助二次函數(shù)的圖像性質(zhì)結(jié)合對稱軸的位置處理．假如求函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0),在給定區(qū)間[m,n]的值域(或最值),分三種情況考慮：
(如例5)可做公式用．
法求y的范圍(如例6－7)．
為二次函數(shù)求值域．但要注意中間量t的范圍(如例6－8)．
6°分離有界變量法：從已知函數(shù)式中把有界變量解出來．利用有界變量的范圍,求函數(shù)y的值域(如例6－6)．
7°圖像法(如例6－9)：
由于求函數(shù)值域不像求函數(shù)定義域那樣有一定的法則和程序可尋,它要根據(jù)函數(shù)解析式的不同特點靈活用各種方法求解．
解 (2)∵f(－7)＝10,∴f[f(－7)]＝f(10)＝100．
說明 本例較簡單,但主要用意是深刻理解函數(shù)符號f(x)的意義．求分段函數(shù)值時,要注意在定義域內(nèi)進行．
【例8】根據(jù)已知條件,求函數(shù)表達式．
(1)已知f(x)＝3x2－1,求①f(x－1),②f(x2)．
(2)已知f(x)＝3x2＋1,g(x)＝2x－1,求f[g(x)]．
求f(x)．
(4)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2,f(x＋1)－f(x)＝x－1,求f(x)．
(5)設(shè)周長為a(a＞0)的等腰三角形,其腰長為x,底邊長為y,試將y表示為x的函數(shù),并求它的定義域和值域．
(1)分析：本題相當(dāng)于x＝x－1時的函數(shù)值,用代入法可求得函數(shù)表達式．
解 ∵f(x)＝3x2－1
∴f(x－1)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2
f(x2)＝3(x2)2－1＝3x4－1
(2)分析：函數(shù)f[g(x)]表示將函數(shù)f(x)中的x用g(x)來代替而得到的解析式,∴仍用代入法求解．
解 由已知得f[g(x)]＝3(2x－1)2＋1＝12x2－12x＋4
法(或觀察法)．
∴x＝(t＋1)2代入原式有f(t)＝(t＋1)2－6(t＋1)－7
＝t2－4t－12 (t≥－1)
即f(x)＝x2－4x－12 (x≥－1)
說明 解法二是用的換元法．注意兩種方法都涉及到中間量的問題,必須要確定中間量的范圍,要熟練掌握換元法．
(4)分析：本題已給出函數(shù)的基本特征,即二次函數(shù),可采用待定系數(shù)法求解．
解 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
由f(0)＝2,得c＝2．由f(x＋1)－f(x)＝x－1,得恒等式2ax＋
說明 待定系數(shù)是重要的數(shù)學(xué)方法,應(yīng)熟練掌握．
∵2x＋y＝a,∴y＝a－2x為所求函數(shù)式．
∵三角形任意兩邊之和大于第三邊,
∴得2x＋2x＞a,又∵y＞0,
說明 求實際問題函數(shù)表達式,重點是分析實際問題中數(shù)量關(guān)系并建立函數(shù)解析式,其定義域與值域,要考慮實際問題的意義．