設(shè)f(x)在區(qū)間【0,1】上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),證明x∈【0,1】,有|f(x)|≤∫(|f(t)|+|f′(t)|)dt

設(shè)f(x)在區(qū)間【0,1】上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),證明x∈【0,1】,有|f(x)|≤∫<0,1>(|f(t)|+|f′(t)|)dt

數(shù)學(xué)人氣：501 ℃時(shí)間：2019-09-09 17:50:50

優(yōu)質(zhì)解答

利用積分第一中值定理,存在u∈【0,1】使得|f(u)|=∫<0,1>|f(t)|dt
然后|f(x)| <= |f(x)-f(u)| + |f(u)| = |∫f'(t)dt| + ∫<0,1>|f(t)|dt <= ∫<0,1>|f'(t)|dt + ∫<0,1>|f(t)|dt有幾個(gè)問題~1.為什么是 |f(u)|=∫<0,1>|f(t)|dt ？根據(jù)中值定理 f(u)=∫<0,1>f(t)dt 推出 |f(u)|=|∫<0,1>f(t)dt|再根據(jù) |∫<0,1>f(t)dt|<=∫<0,1>|f(t)|dt推出 |f(u)|<=∫<0,1>|f(t)|dt2.|f(x)| <= |f(x)-f(u)| + |f(u)| 是怎么想到的呀？根據(jù)什么定理?3. |∫f'(t)dt|<= ∫<0,1>|f'(t)|dt又是根據(jù)什么定理呢？看上去你學(xué)得太教條，一點(diǎn)都不會(huì)變通，學(xué)習(xí)方法上可能需要好好改進(jìn)一下1. 既然對(duì)f(x)可以用中值定理，為什么不能對(duì)|f(x)|直接用中值定理呢即使是只有 |f(u)|<=∫<0,1>|f(t)|dt 也足以解決問題2. |a+b| <= |a| + |b| ，這個(gè)總知道的吧a=f(x)-f(u), b=f(u)3. |∫f'(t)dt| <= |∫|f'(t)|dt| <= ∫<0,1>|f'(t)|dt請(qǐng)問 |f'(t)| 的原函數(shù)就是 |f(t)| 嗎？

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