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    已知數(shù)列{log2（an-1）}（n∈N*）為等差數(shù)列，且a1=3，a3=9． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）證明1/a2?a1+1/a3?a2+…+1/an+1?an＜1．
    

    已知數(shù)列{log2（an-1）}（n∈N*）為等差數(shù)列，且a1=3，a3=9．
    （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
    （Ⅱ）證明
    1
    a2?a1
    +
    1
    a3?a2
    +…+
    1
    an+1?an
    ＜1．
    

    數(shù)學(xué)人氣：226 ℃時(shí)間：2019-08-21 21:40:23
    

    優(yōu)質(zhì)解答
    

    （I）設(shè)等差數(shù)列{log2（an-1）}的公差為d．
    由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．
    所以log2（an-1）=1+（n-1）×1=n，即an=2n+1．
    （II）證明：因?yàn)?span>
    1
    an+1?an
    =
    1
    2n+1?2n
    =
    1
    2n
    ，
    所以
    1
    a2?a1
    +
    1
    a3?a2
    +…+
    1
    an+1?an
    =
    1
    21
    +
    1
    22
    +
    1
    23
    +…+
    1
    2n
    =
    1
    2 
    ?
    1
    2n
    ×
    1
    2
    1?
    1
    2
    =1-
    1
    2n
    ＜1，
    即得證．
    

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