函數(shù)f(x)=2ax²＋2x－3－a在區(qū)間[－1,1]上有零點(diǎn),即方程f(x)=0在區(qū)間[－1,1]內(nèi)有根.
【方法一】
1、若a=0,此時(shí)方程是2x－3=0,x=3/2,此根不在已知區(qū)間內(nèi),不合；
2、若a≠0,此時(shí)f(x)是二次函數(shù),則可以根據(jù)二次函數(shù)的圖像來研究a的取值范圍.
【注】此法比較復(fù)雜,尤其是當(dāng)a≠0時(shí)的討論比較復(fù)雜,因?yàn)榇藭r(shí)還需要研究在區(qū)間內(nèi)是一個(gè)根還是兩個(gè)根,另外還要看這個(gè)根也許還會(huì)取到1或－1的情況.
【方法二】
系數(shù)分離
方程2ax²＋2x－3－a=0有根,即(2x²－1)a=3－2x在區(qū)間[－1,1]內(nèi)有根,此時(shí),由于字母a的系數(shù)是2x²－1,在系數(shù)分離時(shí)還是需要兩邊除以2x²－1,因x∈[－1,1]時(shí),2x²－1還是有可能是0的,故還是需要討論.這種解法相當(dāng)于求函數(shù)值域.
【方法三】
考慮問題的反面,即：函數(shù)在[－1,1]內(nèi)沒有零點(diǎn),由于a≠0是不滿足的,則這個(gè)函數(shù)必定的二次函數(shù),即二次函數(shù)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)沒有零點(diǎn),考慮到這個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸是x=－1/a,則：
1、若－1/a在區(qū)間左側(cè),此時(shí)只需要f(－1)×f(1)>0；
2、若－1/a在區(qū)間內(nèi),則需要判別式△0
三種方法比較下,我個(gè)人傾向于方法三.