（1）過A作AE⊥BC，則AE為BC邊上的高，
由Rt△AEC中，AC=4

2

，∠C=45°，得到此三角形為等腰直角三角形，
∴sin45°=

AE

AC

，即AE=ACsin45°=4

2

×

2

2

=4，
∴△ABC中BC邊上的高為4，
設△CDP中PC邊上的高為h，
則

h

4

＝

6?x

6

?h＝

2

3

(6?x)(0＜x＜6)；
這樣S₁=2x，S₃=

1

2

(6?x)?

2

3

(6?x)＝

1

3

(6?x)2，
S₂=12-2x-

1

3

(6?x)2=?

1

3

x2+2x；
即y=12-2x-

1

3

(6?x)2=?

1

3

x2+2x；
（2）S₂=?

1

3

x2+2x=?

1

3

(x2?6x+9)+3=?

1

3

(x?3)2+3，
所以當x=3時，y有最大值3；此時BP=3，即P是BC的中點．