首先證明：當(dāng)點P與原點O重合時,△PAB的面積最小.
令圓心為C.
過原點O作圓C的切線,切圓C于E,過E作D⊥OC于D,在x軸上原點外任取一點Q,過Q作圓C的一條切線,切圓C于R,再過R作RS⊥QC交QC于S.
顯然,由直角△OCQ得：QC＞OC,而RC＝EC,通過勾股定理,容易推出：QR＞OE.
由銳角三角函數(shù)定義,得：cos∠QCR＝RC/QC,　cos∠OCE＝EC/OC.
可見：cos∠OCE＞cos∠QCR,銳角的余弦函數(shù)是減函數(shù),所以：∠QCR＞∠OCE,
再由銳角三角函數(shù)定義,得：sin∠QCR＝RS/RC,　sin∠OCE＝ED/EC,
銳角的正弦函數(shù)是增函數(shù),所以：sin∠QCR＞sin∠OCE,即：RS/RC＞ED/EC,得：RS＞ED
容易證得：∠QRS＝∠QCR,　∠OED＝∠OCE,所以：∠QRS＞∠OED.
考慮到：△QSR的面積＝0.5QR×RS×sin∠QRS, △ODE的面積＝0.5OE×ED×sin∠OED
結(jié)合：QR＞OE,RS＞ED,∠QRS＞∠OED,得：△QSR的面積＞△ODE的面積.
設(shè)由O作圓C切線的另一切點為F,由Q作圓C切線的另一切點為G.
則容易證得：△QSR的面積＝△QGR面積的一半,　△ODE的面積＝△QFE面積的一半,
得：△QGR的面積＞△QFE的面積.
從而說明：當(dāng)點P與原點O重合時,△PAB的面積最小.
當(dāng)點P與原點O重合時,PC＝2,AC＝1,可見∠APB/2＝30°,得∠APB＝60°.
由勾股定理,得：PA＝√3.
于是：此時的△PAB的面積＝0.5PA^2×sin∠APB＝3√3/4.
即：△PAB面積的最小值是3√3/4.