如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，（1）求證：∠EDC=90°．（2）若∠ABD的平分線與CD的延長線交于F（圖2），且∠F=55°，求∠ABC．

如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，

（1）求證：∠EDC=90°．
（2）若∠ABD的平分線與CD的延長線交于F（圖2），且∠F=55°，求∠ABC．

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優(yōu)質(zhì)解答

（1）證明：在△BCD中，∠CBD+∠BDC+∠BCD=180°，
∵∠BDC=∠BCD，
∴∠CBD+2∠BDC=180°，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠BDE=

∠ADB，
∴∠EDC=∠BDE+∠BDC=

（∠CBD+2∠BDC）=

×180°=90°，

故：∠EDC=90°；
（2）設(shè)BF、DE相交于點O，
∵∠EDC=90°，
∴∠FDO=90°，
∴∠DOF=90°-∠F=90°-55°=35°，
由三角形的外角性質(zhì)，∠OBD+∠ODB=∠DOF=35°，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，
∴∠ABD+∠ADB=2（∠OBD+∠ODB）=2×35°=70°，
在△ABD中，∠A=180°-（∠ABD+∠ADB）=180°-70°=110°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°．

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