證明：設(shè)A(n)=（n+1）(n+2)…(n+n),B(n)=2^n*1*3*…*(2n-1).
當(dāng)n=1時(shí),A(1)=1+1=2=2^1*1=B(1),
當(dāng)n=2時(shí),A(2)=(1+2)(2+2)=12=2^2*1*3=B(2)
假設(shè)當(dāng)n=k(k>2)時(shí),A(k)=B(k)成立,即（k+1）(k+2)…(k+k)=2^k*1*3*…*(2k-1)成立,
則當(dāng)n=k+1時(shí),A(k+1)=（k+1）(k+2)…(k+k)[k+(k+1)]=A(k)*[k+(k+1)]=A(k)*(2k+1)
B(k+1)=2^k*1*3*…*(2k-1)*[2(k+1)-1]=B(k)*[2(k+1)-1]=B(k)*(2k+1)
顯然有：A(k+1)=B(k+1)成立.
所以對(duì)一切n∈N+都有A(n)=B(n)成立,
即：（n+1）(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)成立.
證畢.- -說了不是證明~！我懂你的意思了。是要求左邊的那個(gè)代數(shù)式。如果之前沒有左邊的代數(shù)式，估計(jì)只有超人可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律。如果給了你這個(gè)規(guī)律，只是要你用數(shù)學(xué)歸納法來求這個(gè)代數(shù)式，那才有可能。 當(dāng)n=1時(shí)，2=2^1*1==2=1+1， 當(dāng)n=2時(shí)，2^2*1*3=12=(2+1)(2+2)， 當(dāng)n=3時(shí)，2^3*1*3*5=120=(3+1)(3+2)(3+3)， 所以猜想：2^n*1*3*…*(2n-1)=（n+1）(n+2)…(n+n)。 假設(shè)當(dāng)n=k(k>2)時(shí)，2^k*1*3*…*(2k-1)=(k+1)(k+2)…(k+k)成立，————(*) 則當(dāng)n=k+1時(shí)，設(shè)(*)式左邊=A(k)，右邊=B(k)。則A(k+1)=2^(k+1)*1*3*…*(2k-1)[2(k+1)-1]=A(k)*2*(2k+1) B(k+1)=[(k+1)+1][(k+1)+2][(k+1)+3]...[(k+1)+k][(k+1)+(k+1)] =(k+2)(k+3)(k+4)...(k+k+1)(k+k+2) =B(k)*(2k+1)(2k+2)/(k+1) =B(k)*2*(2k+1) 再由A(k)=B(k)代入上式，即有：A(k+1)=B(k+1)成立。 所以對(duì)一切n∈N+，都有：A(n)=B(n)，即2^n*1*3*…*(2n-1)=（n+1）(n+2)…(n+n)。 猜想成立，所以等式左邊的代數(shù)式為：(n+1)(n+2)…(n+n)。