共點(diǎn)證明行列式為0：
考慮方程組
a1x+b1y+c1z=0
a2x+b2y+c2z=0
a3x+b3y+c3z=0
三線共點(diǎn)說明方程組有非0解（z=1)
所以系數(shù)行列式為0.
反過來
已知行列式det A為0
若假設(shè)三線不共點(diǎn)
那么方程組
a1x+b1y+c1=0
a2x+b2y+c2=0
a3x+b3y+c3=0
無解
也就是方程組
a1x+b1y+c1z=0
a2x+b2y+c2z=0
a3x+b3y+c3z=0
0x+ 0y+ 1z=1
無解
因?yàn)閐et A為0,故前三個(gè)方程至少有一個(gè)是另兩個(gè)的線性組合（多余）,不妨設(shè)第一個(gè)是多余的
那么方程組
a2x+b2y+c2z=0
a3x+b3y+c3z=0
0x+ 0y+ 1z=1
的系數(shù)行列式det A'必為0
但detA'=a2b3-a3b2不等于0（因?yàn)閮蓷l直線不平行）
矛盾
所以三線共點(diǎn)