（1）∵關于x的方程（k-1）x²+2kx+k+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=b²-4ac=（2k）²-4×（k-1）×（k+3）=4k²-4k²-8k+12=-8k+12＞0…（1分）
解得：k＜

3

2

，
∵k-1≠0，即k≠1，
∴k的取值范圍是k＜

3

2

且k≠1． …（3分）
（2）∵當方程有兩個相等的實數(shù)根時，△=-8k+12=0．
∴k=

3

2

． …（4分）
∴關于y的方程為y²+（a-6）y+a+1=0．
∴△′=（a-6）²-4（a+1）=a²-12a+36-4a-4=a²-16a+32=（a-8）²-32．
由a為正整數(shù)，當（a-8）²-32是完全平方數(shù)時，方程才有可能有整數(shù)根．
設（a-8）²-32=m²（其中m為整數(shù)），32=p?q（p、q均為整數(shù)），
∴（a-8）²-m²=32．即（a-8+m）（a-8-m）=32．
不妨設

a?8+m＝p a?8?m＝q.

兩式相加，得a=

p+q+16

2

．
∵（a-8+m）與（a-8-m）的奇偶性相同，
∴32可分解為2×16，4×8，（-2）×（-16），（-4）×（-8），
∴p+q=18或12或-18或-12．
∴a=17或14或-1（不合題意，舍去）或2．
當a=17時，方程的兩根為y=

?11±7

2

，即y₁=-2，y₂=-9．…（5分）
當a=14時，方程的兩根為y=

?8±2

2

，即y₁=-3，y₂=-5．…（6分）
當a=2時，方程的兩根為y=

4±2

2

，即y₁=3，y₂=1． …（7分）