設(shè)A點坐標(biāo)為（x1,y1）B點坐標(biāo)為（x2,y2）
因為,OA⊥OB,所以,(y1/x1)×(y2/x2)=-1
即,x1x2+y1y2=0
設(shè)AB所在的直線方程為：y=kx+m,代入橢圓方程 b²x²+a²y²=a²b²
整理得：(a²k²+b²)x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0
因為點A、B在橢圓上
由韋達定理可得：
x1+x2=-2kma²/(a²k²+b²),
x1x2=(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)
所以,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²
由 x1x2+y1y2=0可得
x1x2+k²x1x2+km(x1+x2)+m²=0
即,(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)+k²(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)-2k²m²a²/(a²k²+b²)+m²=0
化簡得：(a²+b²)m²=a²b²(1+k²)
m²/(1+k²)=a²b²/(a²+b²)
｜m｜/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)
點O到直線AB的距離d=｜m｜/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)為定值
直角三角形AOB中,OA²+OB²＝AB²,S△AOB＝(OA×OB)/2＝(AB×d)/2
所以,
1/OA²+1/OB²
=(OA²+OB²)/(OA²OB²)
=AB²/(AB×d)²
=1/d²
=1/[a²b²/(a²+b²)]
=(a²+b²)/(a²b²)
=1/a²+1/b²
即,1/OA²+1/OB²為定值