1.(1-x²)^20次方的展開式中,若第4r項和第r+2項的二項式系數(shù)相等,則r=?
對于（1+a）^n,系數(shù)相等的項滿足“項數(shù)和＝n+2”(展開式中一共有n+1項)
故：4r+ r+2=20+2
故：r=4
2.設(shè)m,n為正整數(shù),f(x)=(1-2x) ^m+(1-5x) ^n(此處m n 皆表示次方)中含x 的一次項系數(shù)為-16,則含x^項的系數(shù)是?
(1-2x) ^m中含x 的一次項系數(shù)為C[m](1)•（-2）=-2m
(1-5x) ^n中含x 的一次項系數(shù)為C[n](1)•（-5）=-5n
故：-2m-5n=-16
又：m、n為正整數(shù),故：n=2,m=3
故：f(x)=(1-2x) ^m+(1-5x) ^n=(1-2x) ³+(1-5x) ²
故：含x^項的系數(shù)是C[3](2)•（-2）²＋C[2](2)•（-5）²＝37
3.已知(x²-1/√3X) ^n(n表示次方),中第4項的二項式系數(shù)為220,則n=?展開式中含x三次方的項為?
(x²-1/√3X) ^n(n表示次方),中第4項的二項式系數(shù)為C[n](3)＝220 故：n=12
故：(x²-1/√3X) ^12展開式中含x三次方的項為C[12](5)• (x²)^5•(-1/√3X) ^7=-88√3x³/9
4.(1-x)+(1-x) ²+...+(1-x) ^10次方的展開式中,x²的系數(shù)是?
(1-x)+(1-x) ²+...+(1-x) ^10次方的展開式中,x²的系數(shù)是：C[2](2)+C[3](2)+C[4](2)+…+ C[10](2)=1+3+6+10+15+21+28+36+45=165
也可以先求和,然后再求x²的系數(shù)
5.已知{a/x-√(x/2)} ^9次方的展開式中含x³次方項的系數(shù)是9/4,則展開式中第5項的系數(shù)為?
{a/x-√(x/2)} ^9次方的展開式中含x³次方項是C[9](1)•( a/x)•[-√(x/2))]^8=9ax³/16
故：9a/16=9/4,故：a=4
故：{a/x-√(x/2)} ^9次方的展開式中第5項是C[9](5) •( 4/x) ^5•[-√(x/2))]^4=32256/x³
故：展開式中第5項的系數(shù)為32256
6.求多項式(3x4-x3+2x²-3)的8次方•(3x-5)的4次方•(7x4-4x-2)的6次方,展開式中各項系數(shù)的和.
x=1時,(3x4-x3+2x²-3)的8次方•(3x-5)的4次方•(7x4-4x-2)的6次方的值即為展開式中各項系數(shù)的和.即：(3-1+2-3)的8次方•(3-5)的4次方•(7-4-2)的6次方＝16
7、多項式x100次方-x+(-x3次方-2x²+2)的100次方展開式中x的偶次數(shù)冪和x的奇數(shù)次冪各項系數(shù)之和是多少?
設(shè)x的偶次數(shù)冪各項系數(shù)之和為a,x的奇數(shù)次冪各項系數(shù)之和為b
則：x=1時,a+b=1^100-1+(-1^3 -2+2) ^100=1
當(dāng)x=-1時,a-b=(-1)^100+1+[-(-1)^3 -2+2] ^100=3
故：a=2,b=-1
即：x的偶次數(shù)冪各項系數(shù)之和為2,x的奇數(shù)次冪各項系數(shù)之和為－1
8.當(dāng)n屬于正整數(shù)時,求證：2≤[1+（1/n ）]^n≤3.
證明：[1+（1/n ）]^n=1+C[n](1)•(1/n)+C[n](2) •(1/n) ^2+ C[n](3) •(1/n) ^3+…+ C[n](n-2) •(1/n) ^(n-2)+ C[n](n-1) •(1/n) ^(n-1)+ C[n](n) •(1/n) ^n
=2+(n-1)/(2n)+(n-1)(n-2)/(6n^2)+….+(n-1)/[2(n-1) ^(n-3)]+1/[n^(n-2)]+ 1/(n ^n)＞2
關(guān)于[1+（1/n ）]^n≤3用數(shù)學(xué)歸納法
9.99^100 -19的末兩位數(shù)字是?
99^100＝（100－1）^100=….+C[100](2) •(100) ^2-C[100](1) •(100) ^1+C[100](0)
故：99^100 -19的末兩位數(shù)字與C[100](2) •(100) ^2-C[100](1) •(100) ^1+C[100](0)－19的末兩位數(shù)字相同,即：82
10.（1+x)+(1+x)^+(1+x)的3次方+...+(1+x)的10次方展開式中所有奇次項系數(shù)之和?
參照第七題
11.已知n屬于正整數(shù),求證：2的n次方>1+2+3+...+n.
用數(shù)學(xué)歸納法